By Daniel Grieser

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Z. B. ist  ∈ {, }, aber  ∈/ {, }. B. N = {, , , . . } oder {, , , , . . B. kann man {, , , , . . } eindeutiger schreiben als {n ∈ N ∶ n ist gerade}, sprich: Die Menge aller n ∈ N, für die gilt: n ist gerade. B. hat die Menge {, {, , }} zwei Elemente: die Zahl  und die Menge {, , }. 1 Definition Seien M, N Mengen. Wir definieren die Mengen ∅ M∩N M∪N M∖N P(M) Wir schreiben ∶= ∶= ∶= ∶= ∶= Die Menge ohne Element {x ∶ x ∈ M und x ∈ N} {x ∶ x ∈ M oder x ∈ N} {x ∶ x ∈ M und nicht x ∈ N} Die Menge aller Teilmengen von M M ⊂ N ∶⇔ ∀x ∈ M ∶ x ∈ N leere Menge Schnittmenge Vereinigungsmenge Differenzmenge Potenzmenge (M ist Teilmenge von N).

Analog folgte aus x  < x  , dass x  < x  . Also muss x  = x  gelten. 3 Abbildungen 39 Abb. 1 Beispiele injektiver, surjektiver und bijektiver Abbildungen (2) f ∶ R → [, ∞), x → x  ist surjektiv. Beweis: Sei y ∈ [, ∞). Es ist zu zeigen, dass es ein x ∈ R gibt mit F(x) = y, d. h. x  = y. 1). (3) f ∶ [, ∞) → (, ∞), x ↦ x  ist bijektiv. Beweis: Injektivität folgt aus (1), da der Definitionsbereich derselbe ist. 1). Wir haben es in (1), (2) und (3) mit drei unterschiedlichen Abbildungen zu tun.

1 Zur Zeit der Drucklegung dieses Buches gibt es allerdings Fortschritte, die hoffen lassen, dass dieses alte mathematische Problem bald gelöst wird. © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 D. 1 Definition Aus gegebenen Aussagen A, B lassen sich durch Verknüpfung mit Junktoren neue Aussagen bilden. Die folgende Tabelle zeigt, wie deren Wahrheitswerte aus den Wahrheitswerten von A und B bestimmt werden. A B w w w f f w f f nicht A ¬A f f w w A und B A∧B w f f f ¬ Negation A oder B A∨B w w w f aus A folgt B wenn A, dann B A⇒ B w f w w A genau dann, wenn B A⇔ B w f f w ∧ Konjunktion ⇒ Implikation ∨ Disjunktion ⇔ Äquivalenz Der Wahrheitswert (w oder f) der aus A, B zusammengesetzten Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten von A, B ab, nicht von deren Bedeutung.

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Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums by Daniel Grieser
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